Deux mathématiciens viennent de réaliser des progrès spectaculaires dans la compréhension de la répartition des nombres premiers, ces entiers qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et par 1. Cette nouvelle découverte est la plus passionnante de ces trente dernières années sur ce sujet, estime le mathématicien Hugh L. Montgomery, de l'université du Michigan à Ann Harbor. Cependant, ajoute-t-il, les experts n'ont pas terminé d'en vérifier la véracité. Parmi les petits nombres, il y a beaucoup de nombres premiers. Ainsi, 4 des nombres compris entre 1 et 9 sont des nombres premiers : 2, 3, 5 et 7. Mais parmi les grands nombres ils se font plus rares. Et lorsqu'on arrive à l'ordre du milliard on ne trouve plus qu'environ 1 nombre premier tous les 28 nombres entiers. A la fin du XIXe siècle, des mathématiciens ont prouvé que la distribution des nombres premiers répond à un modèle étonnamment simple : l'écart moyen entre deux nombres premiers voisins d'un nombre x est le logarithme naturel de x, c'est-à-dire un nombre étroitement lié au nombre de chiffres composant x
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par exemple, si x = 6, les deux nombres premiers qui lui sont les plus proches sont 5 et 7. Leur écart est égal à 2 ; or log 6 = 1,79. Mais cette formule n'est qu'une approximation. Il arrive que l'écart entre des nombres premiers soit beaucoup plus petit ou beaucoup plus grand par exemple, l'écart entre les deux nombres premiers 523 et 543 est égal à 20 ; mais le logarithme de 525, un nombre au hasard compris entre 523 et 543, égale 6,2. L'un des plus célèbres problèmes de la théorie des nombres, celui des nombres premiers jumeaux, suppose qu'il existe un nombre infini de paires de nombres premiers dont la différence est égale à 2. Les exemples de nombres premiers jumeaux (comme 17 et 19) pullulent. Or, pendant plus de un siècle, les mathématiciens se sont évertués, en vain, à le prouver. Néanmoins, ils ont eu plus de succès en ce qui concerne des recherches plus larges sur les nombres premiers séparés par un écart moindre que celui prévu par la formule générale. En 1965, Enrico Bombieri, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et le regretté Harold Davenport ont prouvé qu'un nombre infini de paires de nombres premiers ont un écart inférieur à la moitié de l'écart moyen entre deux nombres premiers [par exemple l'écart de 2 entre 101 et 103 est inférieur à la moitié de l'écart moyen entre ces deux nombres si l'on prend cet écart égal à log 102 = 4,6. A la fin des années 80, cette estimation passa de la moitié au quart. Aujourd'hui, Daniel A. Goldston, de l'université d'Etat de San José, en Californie, et Cem Y. Yildirim, de l'université Bogaziçi, à Istanbul, viennent de faire une découverte beaucoup plus importante encore : étant donné une fraction, si petite soit-elle, il existe un nombre infini de paires de nombres premiers ayant un écart inférieur à cette fraction de leur écart moyen. "Ces résultats pulvérisent toute une série de records précédents. C'est un peu comme si quelqu'un courait 1 000 mètres en deux minutes", dit Carl Pomerance, des laboratoires Bell, à Murray Hill, dans le New Jersey. "C'est la ligne droite avant la mise en application sur le terrain", estime-t-il. Brian Conrey, responsable de l'American Institute of Mathematics à Palo Alto, en Californie, partage cet avis. "C'est une découverte extraordinaire", dit-il. L'idée novatrice de MM. Goldston et Yildirim consistait à ne pas se limiter à la distribution des paires de nombres premiers, mais à les étudier également par séquences de trois, quatre, ou plus. Elargir ainsi leur champ d'étude leur a permis de simplifier les formules d'évaluation de l'écart séparant les nombres premiers. Et c'est ainsi qu'à leur grande surprise ils ont obtenu le nouveau résultat sur ces écarts plus petits que les écarts moyens. "Ce résultat était tellement meilleur que ce à quoi nous nous attendions que j'ai failli croire que nous nous étions trompés", se souvient Daniel A. Goldston, qui travaille sur ce sujet depuis vingt ans. "Comme tout le monde, je suis extrêmement surpris de l'avoir obtenu aussi facilement."
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